Datrys {l}{2x+1=y}{2y+2=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 1 = y } \\ { 2 y + 2 = x } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$2x+1-y=0$$

Tynnu 1 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$2x-y=-1$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$2y+2-x=0$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$2y-x=-2$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-y=-1,-x+2y=-2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-y=-1$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=y-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â y-1.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

Amnewid \frac{-1+y}{2} am x yn yr hafaliad arall, -x+2y=-2.

$$-\left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)+2y=-2$$

Lluoswch -1 â \frac{-1+y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+2y=-2$$

Adio -\frac{y}{2} at 2y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-2$$

Tynnu \frac{1}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{3}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{3}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{5}{3} am y yn x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{3}\right)-\frac{1}{2}$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -\frac{5}{3} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{5}{6}-\frac{1}{2}$$

Adio -\frac{1}{2} at -\frac{5}{6} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{5}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$2x+1-y=0$$

Tynnu 1 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$2x-y=-1$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$2y+2-x=0$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$2y-x=-2$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-y=-1,-x+2y=-2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{2}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{5}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$2x+1-y=0$$

Tynnu 1 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$2x-y=-1$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$2y+2-x=0$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$2y-x=-2$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-y=-1,-x+2y=-2$$

I wneud 2x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$-2x-\left(-y\right)=-\left(-1\right),2\left(-1\right)x+2\times 2y=2\left(-2\right)$$

Symleiddio.

$$-2x+y=1,-2x+4y=-4$$

Tynnwch -2x+4y=-4 o -2x+y=1 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-2x+2x+y-4y=1+4$$

Adio -2x at 2x. Mae'r termau -2x a 2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$y-4y=1+4$$

Adio y at -4y.

$$-3y=1+4$$

Adio 1 at 4.

$$-3y=5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{5}{3} am y yn -x+2y=-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x+2\left(-\frac{5}{3}\right)=-2$$

Lluoswch 2 â -\frac{5}{3}.

$$-x-\frac{10}{3}=-2$$

Adio \frac{10}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=\frac{4}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{5}{3}$$