Datrys {l}{2w+1n=5050}{3w+2n=9050}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 w + 1 n = 5050 } \\ { 3 w + 2 n = 9050 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer w, n

$$w=1050$$

$$n=2950$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer w drwy ynysu w ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2w+n=5050$$

Tynnu n o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2w=-n+5050$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$w=\frac{1}{2}\left(-n+5050\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -n+5050.

$$w=-\frac{1}{2}n+2525$$

Amnewid -\frac{n}{2}+2525 am w yn yr hafaliad arall, 3w+2n=9050.

$$3\left(-\frac{1}{2}n+2525\right)+2n=9050$$

Lluoswch 3 â -\frac{n}{2}+2525.

$$-\frac{3}{2}n+7575+2n=9050$$

Adio -\frac{3n}{2} at 2n.

$$\frac{1}{2}n+7575=9050$$

Tynnu 7575 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{2}n=1475$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$n=2950$$

Cyfnewidiwch 2950 am n yn w=-\frac{1}{2}n+2525. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer w yn uniongyrchol.

$$w=-\frac{1}{2}\times 2950+2525$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â 2950.

$$w=-1475+2525$$

Adio 2525 at -1475.

$$w=1050$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$w=1050,n=2950$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5050-9050\\-3\times 5050+2\times 9050\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1050\\2950\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics w a n.

$$w=1050,n=2950$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

I wneud 2w a 3w yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$3\times 2w+3n=3\times 5050,2\times 3w+2\times 2n=2\times 9050$$

Symleiddio.

$$6w+3n=15150,6w+4n=18100$$

Tynnwch 6w+4n=18100 o 6w+3n=15150 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6w-6w+3n-4n=15150-18100$$

Adio 6w at -6w. Mae'r termau 6w a -6w yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3n-4n=15150-18100$$

Adio 3n at -4n.

$$-n=15150-18100$$

Adio 15150 at -18100.

$$-n=-2950$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$n=2950$$

Cyfnewidiwch 2950 am n yn 3w+2n=9050. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer w yn uniongyrchol.

$$3w+2\times 2950=9050$$

Lluoswch 2 â 2950.

$$3w+5900=9050$$

Tynnu 5900 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3w=3150$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$w=1050$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$w=1050,n=2950$$