Datrys {l}{2m+3n=22}{m-2n=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 22 } \\ { m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer m, n

$$m = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7} \approx 8.857142857$$

$$n = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer m drwy ynysu m ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2m+3n=22$$

Tynnu 3n o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2m=-3n+22$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+22\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3n+22.

$$m=-\frac{3}{2}n+11$$

Amnewid -\frac{3n}{2}+11 am m yn yr hafaliad arall, m-2n=6.

$$-\frac{3}{2}n+11-2n=6$$

Adio -\frac{3n}{2} at -2n.

$$-\frac{7}{2}n+11=6$$

Tynnu 11 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{7}{2}n=-5$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{7}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$n=\frac{10}{7}$$

Cyfnewidiwch \frac{10}{7} am n yn m=-\frac{3}{2}n+11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer m yn uniongyrchol.

$$m=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{7}+11$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â \frac{10}{7} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$m=-\frac{15}{7}+11$$

Adio 11 at -\frac{15}{7}.

$$m=\frac{62}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 22+\frac{3}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{62}{7}\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics m a n.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

I wneud 2m a m yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$2m+3n=22,2m+2\left(-2\right)n=2\times 6$$

Symleiddio.

$$2m+3n=22,2m-4n=12$$

Tynnwch 2m-4n=12 o 2m+3n=22 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2m-2m+3n+4n=22-12$$

Adio 2m at -2m. Mae'r termau 2m a -2m yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3n+4n=22-12$$

Adio 3n at 4n.

$$7n=22-12$$

Adio 22 at -12.

$$7n=10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$n=\frac{10}{7}$$

Cyfnewidiwch \frac{10}{7} am n yn m-2n=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer m yn uniongyrchol.

$$m-2\times \frac{10}{7}=6$$

Lluoswch -2 â \frac{10}{7}.

$$m-\frac{20}{7}=6$$

Adio \frac{20}{7} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$m=\frac{62}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$