Datrys {l}{2a+b=5}{a+2b=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 5 } \\ { a + 2 b = 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a=3$$

$$b=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2a+b=5$$

Tynnu b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2a=-b+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -b+5.

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}$$

Amnewid \frac{-b+5}{2} am a yn yr hafaliad arall, a+2b=1.

$$-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}+2b=1$$

Adio -\frac{b}{2} at 2b.

$$\frac{3}{2}b+\frac{5}{2}=1$$

Tynnu \frac{5}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{3}{2}b=-\frac{3}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{3}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$b=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am b yn a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â -1.

$$a=\frac{1+5}{2}$$

Adio \frac{5}{2} at \frac{1}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=3,b=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=3,b=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2a+b=5,a+2b=1$$

I wneud 2a a a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$2a+b=5,2a+2\times 2b=2$$

Symleiddio.

$$2a+b=5,2a+4b=2$$

Tynnwch 2a+4b=2 o 2a+b=5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2a-2a+b-4b=5-2$$

Adio 2a at -2a. Mae'r termau 2a a -2a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$b-4b=5-2$$

Adio b at -4b.

$$-3b=5-2$$

Adio 5 at -2.

$$-3b=3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$b=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am b yn a+2b=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a+2\left(-1\right)=1$$

Lluoswch 2 â -1.

$$a-2=1$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$a=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=3,b=-1$$