Datrys {l}{2(3x+y)=1/2}{1/2(2x+8y)=3/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 3 x + y ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 x + 8 y ) = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{1}{22}\approx -0.045454545$$

$$y=\frac{17}{44}\approx 0.386363636$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Mynegwch \frac{\frac{1}{2}}{2} fel ffracsiwn unigol.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

Lluosi 2 a 2 i gael 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch y ddwy ochr â 2, cilyddol \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

Lluosi \frac{3}{2} a 2 i gael 3.

$$2x+8y=3$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-y+\frac{1}{4}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+\frac{1}{4}\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -y+\frac{1}{4}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}$$

Amnewid -\frac{y}{3}+\frac{1}{12} am x yn yr hafaliad arall, 2x+8y=3.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}\right)+8y=3$$

Lluoswch 2 â -\frac{y}{3}+\frac{1}{12}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}+8y=3$$

Adio -\frac{2y}{3} at 8y.

$$\frac{22}{3}y+\frac{1}{6}=3$$

Tynnu \frac{1}{6} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{22}{3}y=\frac{17}{6}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{22}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{17}{44}$$

Cyfnewidiwch \frac{17}{44} am y yn x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{44}+\frac{1}{12}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â \frac{17}{44} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{17}{132}+\frac{1}{12}$$

Adio \frac{1}{12} at -\frac{17}{132} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{1}{22}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Mynegwch \frac{\frac{1}{2}}{2} fel ffracsiwn unigol.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

Lluosi 2 a 2 i gael 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch y ddwy ochr â 2, cilyddol \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

Lluosi \frac{3}{2} a 2 i gael 3.

$$2x+8y=3$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2}&-\frac{1}{3\times 8-2}\\-\frac{2}{3\times 8-2}&\frac{3}{3\times 8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times \frac{1}{4}-\frac{1}{22}\times 3\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{4}+\frac{3}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22}\\\frac{17}{44}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

Mynegwch \frac{\frac{1}{2}}{2} fel ffracsiwn unigol.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

Lluosi 2 a 2 i gael 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch y ddwy ochr â 2, cilyddol \frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

Lluosi \frac{3}{2} a 2 i gael 3.

$$2x+8y=3$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

I wneud 3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$2\times 3x+2y=2\times \frac{1}{4},3\times 2x+3\times 8y=3\times 3$$

Symleiddio.

$$6x+2y=\frac{1}{2},6x+24y=9$$

Tynnwch 6x+24y=9 o 6x+2y=\frac{1}{2} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

Adio 2y at -24y.

$$-22y=\frac{1}{2}-9$$

Adio \frac{1}{2} at -9.

$$-22y=-\frac{17}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -22.

$$y=\frac{17}{44}$$

Cyfnewidiwch \frac{17}{44} am y yn 2x+8y=3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+8\times \frac{17}{44}=3$$

Lluoswch 8 â \frac{17}{44}.

$$2x+\frac{34}{11}=3$$

Tynnu \frac{34}{11} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-\frac{1}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-\frac{1}{22}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$