Datrys {l}{18=1200x+1600y}{17=600x+2400y}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 = 1200 x + 1600 y } \\ { 17 = 600 x + 2400 y } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{1}{120}\approx 0.008333333$$

$$y=\frac{1}{200}=0.005$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$1200x+1600y=18$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$600x+2400y=17$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$1200x+1600y=18$$

Tynnu 1600y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$1200x=-1600y+18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 1200.

$$x=\frac{1}{1200}\left(-1600y+18\right)$$

Lluoswch \frac{1}{1200} â -1600y+18.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}$$

Amnewid -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200} am x yn yr hafaliad arall, 600x+2400y=17.

$$600\left(-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}\right)+2400y=17$$

Lluoswch 600 â -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200}.

$$-800y+9+2400y=17$$

Adio -800y at 2400y.

$$1600y+9=17$$

Tynnu 9 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$1600y=8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 1600.

$$y=\frac{1}{200}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{200} am y yn x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{200}+\frac{3}{200}$$

Lluoswch -\frac{4}{3} â \frac{1}{200} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{1}{150}+\frac{3}{200}$$

Adio \frac{3}{200} at -\frac{1}{150} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{1}{120}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$1200x+1600y=18$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$600x+2400y=17$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2400}{1200\times 2400-1600\times 600}&-\frac{1600}{1200\times 2400-1600\times 600}\\-\frac{600}{1200\times 2400-1600\times 600}&\frac{1200}{1200\times 2400-1600\times 600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}&-\frac{1}{1200}\\-\frac{1}{3200}&\frac{1}{1600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}\times 18-\frac{1}{1200}\times 17\\-\frac{1}{3200}\times 18+\frac{1}{1600}\times 17\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{120}\\\frac{1}{200}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$1200x+1600y=18$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$600x+2400y=17$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

I wneud 1200x a 600x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 600 a holl dermau naill ochr yr ail â 1200.

$$600\times 1200x+600\times 1600y=600\times 18,1200\times 600x+1200\times 2400y=1200\times 17$$

Symleiddio.

$$720000x+960000y=10800,720000x+2880000y=20400$$

Tynnwch 720000x+2880000y=20400 o 720000x+960000y=10800 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$720000x-720000x+960000y-2880000y=10800-20400$$

Adio 720000x at -720000x. Mae'r termau 720000x a -720000x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$960000y-2880000y=10800-20400$$

Adio 960000y at -2880000y.

$$-1920000y=10800-20400$$

Adio 10800 at -20400.

$$-1920000y=-9600$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1920000.

$$y=\frac{1}{200}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{200} am y yn 600x+2400y=17. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$600x+2400\times \frac{1}{200}=17$$

Lluoswch 2400 â \frac{1}{200}.

$$600x+12=17$$

Tynnu 12 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$600x=5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 600.

$$x=\frac{1}{120}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$