Datrys {l}{12x-5y=40}{12x-11y=88}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x - 5 y = 40 } \\ { 12 x - 11 y = 88 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=0$$

$$y=-8$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$12x-5y=40$$

Adio 5y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$12x=5y+40$$

Rhannu’r ddwy ochr â 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(5y+40\right)$$

Lluoswch \frac{1}{12} â 40+5y.

$$x=\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}$$

Amnewid \frac{10}{3}+\frac{5y}{12} am x yn yr hafaliad arall, 12x-11y=88.

$$12\left(\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}\right)-11y=88$$

Lluoswch 12 â \frac{10}{3}+\frac{5y}{12}.

$$5y+40-11y=88$$

Adio 5y at -11y.

$$-6y+40=88$$

Tynnu 40 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-6y=48$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$y=-8$$

Cyfnewidiwch -8 am y yn x=\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{5}{12}\left(-8\right)+\frac{10}{3}$$

Lluoswch \frac{5}{12} â -8.

$$x=\frac{-10+10}{3}$$

Adio \frac{10}{3} at -\frac{10}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=-8$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{-5}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\\-\frac{12}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&\frac{12}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{72}&-\frac{5}{72}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{72}\times 40-\frac{5}{72}\times 88\\\frac{1}{6}\times 40-\frac{1}{6}\times 88\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-8\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=0,y=-8$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

Tynnwch 12x-11y=88 o 12x-5y=40 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x-5y+11y=40-88$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-5y+11y=40-88$$

Adio -5y at 11y.

$$6y=40-88$$

Adio 40 at -88.

$$6y=-48$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$y=-8$$

Cyfnewidiwch -8 am y yn 12x-11y=88. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$12x-11\left(-8\right)=88$$

Lluoswch -11 â -8.

$$12x+88=88$$

Tynnu 88 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$12x=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 12.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=-8$$