Datrys {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$12x+4y=6$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$12x=-4y+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{12} â -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Amnewid -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} am x yn yr hafaliad arall, 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Lluoswch 9 â -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Adio -3y at 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Tynnu \frac{9}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 13.

$$y=\frac{7}{26}$$

Cyfnewidiwch \frac{7}{26} am y yn x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â \frac{7}{26} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Adio \frac{1}{2} at -\frac{7}{78} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{16}{39}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

I wneud 12x a 9x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 9 a holl dermau naill ochr yr ail â 12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Symleiddio.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Tynnwch 108x+192y=96 o 108x+36y=54 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Adio 108x at -108x. Mae'r termau 108x a -108x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$36y-192y=54-96$$

Adio 36y at -192y.

$$-156y=54-96$$

Adio 54 at -96.

$$-156y=-42$$

Rhannu’r ddwy ochr â -156.

$$y=\frac{7}{26}$$

Cyfnewidiwch \frac{7}{26} am y yn 9x+16y=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Lluoswch 16 â \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Tynnu \frac{56}{13} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=\frac{16}{39}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$