Datrys {l}{1x-3y=1}{3y+x=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x - 3 y = 1 } \\ { 3 y + x = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-3y=1,x+3y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-3y=1$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=3y+1$$

Amnewid 3y+1 am x yn yr hafaliad arall, x+3y=2.

$$3y+1+3y=2$$

Adio 3y at 3y.

$$6y+1=2$$

Tynnu 1 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6y=1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$y=\frac{1}{6}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{6} am y yn x=3y+1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=3\times \frac{1}{6}+1$$

Lluoswch 3 â \frac{1}{6}.

$$x=\frac{1}{2}+1$$

Adio 1 at \frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{6}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-3y=1,x+3y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 2\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{6}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-3y=1,x+3y=2$$

Tynnwch x+3y=2 o x-3y=1 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$x-x-3y-3y=1-2$$

Adio x at -x. Mae'r termau x a -x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-3y-3y=1-2$$

Adio -3y at -3y.

$$-6y=1-2$$

Adio 1 at -2.

$$-6y=-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$y=\frac{1}{6}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{6} am y yn x+3y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+3\times \frac{1}{6}=2$$

Lluoswch 3 â \frac{1}{6}.

$$x+\frac{1}{2}=2$$

Tynnu \frac{1}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{3}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{6}$$