Datrys {l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$0.5x+y=9$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$0.5x=-y+9$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$x=2\left(-y+9\right)$$

Lluoswch 2 â -y+9.

$$x=-2y+18$$

Amnewid -2y+18 am x yn yr hafaliad arall, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

Lluoswch 1.6 â -2y+18.

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

Adio -\frac{16y}{5} at \frac{y}{5}.

$$-3y+28.8=13$$

Tynnu 28.8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3y=-15.8$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$y=\frac{79}{15}$$

Cyfnewidiwch \frac{79}{15} am y yn x=-2y+18. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

Lluoswch -2 â \frac{79}{15}.

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

Adio 18 at -\frac{158}{15}.

$$x=\frac{112}{15}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

I wneud \frac{x}{2} a \frac{8x}{5} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1.6 a holl dermau naill ochr yr ail â 0.5.

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

Symleiddio.

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

Tynnwch 0.8x+0.1y=6.5 o 0.8x+1.6y=14.4 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

Adio \frac{4x}{5} at -\frac{4x}{5}. Mae'r termau \frac{4x}{5} a -\frac{4x}{5} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

Adio \frac{8y}{5} at -\frac{y}{10}.

$$1.5y=14.4-6.5$$

Adio 14.4 at -6.5 drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$1.5y=7.9$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 1.5, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{79}{15}$$

Cyfnewidiwch \frac{79}{15} am y yn 1.6x+0.2y=13. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

Lluoswch 0.2 â \frac{79}{15} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

Tynnu \frac{79}{75} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 1.6, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{112}{15}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$