Datrys {l}{0.4x+0.6y=132}{x+y=240}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.6 y = 132 } \\ { x + y = 240 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=60$$

$$y=180$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$0.4x+0.6y=132,x+y=240$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$0.4x+0.6y=132$$

Tynnu \frac{3y}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$0.4x=-0.6y+132$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 0.4, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=2.5\left(-0.6y+132\right)$$

Lluoswch 2.5 â -\frac{3y}{5}+132.

$$x=-1.5y+330$$

Amnewid -\frac{3y}{2}+330 am x yn yr hafaliad arall, x+y=240.

$$-1.5y+330+y=240$$

Adio -\frac{3y}{2} at y.

$$-0.5y+330=240$$

Tynnu 330 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-0.5y=-90$$

Lluosi’r ddwy ochr â -2.

$$y=180$$

Cyfnewidiwch 180 am y yn x=-1.5y+330. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-1.5\times 180+330$$

Lluoswch -1.5 â 180.

$$x=-270+330$$

Adio 330 at -270.

$$x=60$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=60,y=180$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$0.4x+0.6y=132,x+y=240$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.4-0.6}&-\frac{0.6}{0.4-0.6}\\-\frac{1}{0.4-0.6}&\frac{0.4}{0.4-0.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 132+3\times 240\\5\times 132-2\times 240\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\180\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=60,y=180$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$0.4x+0.6y=132,x+y=240$$

I wneud \frac{2x}{5} a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 0.4.

$$0.4x+0.6y=132,0.4x+0.4y=0.4\times 240$$

Symleiddio.

$$0.4x+0.6y=132,0.4x+0.4y=96$$

Tynnwch 0.4x+0.4y=96 o 0.4x+0.6y=132 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$0.4x-0.4x+0.6y-0.4y=132-96$$

Adio \frac{2x}{5} at -\frac{2x}{5}. Mae'r termau \frac{2x}{5} a -\frac{2x}{5} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$0.6y-0.4y=132-96$$

Adio \frac{3y}{5} at -\frac{2y}{5}.

$$0.2y=132-96$$

Adio 132 at -96.

$$0.2y=36$$

Lluosi’r ddwy ochr â 5.

$$y=180$$

Cyfnewidiwch 180 am y yn x+y=240. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+180=240$$

Tynnu 180 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=60$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=60,y=180$$