Datrys {l}{-x-2y=4}{3x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = 4 } \\ { 3 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-x-2y=4,3x-y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-x-2y=4$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=2y+4$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=-\left(2y+4\right)$$

Lluoswch -1 â 4+2y.

$$x=-2y-4$$

Amnewid -2y-4 am x yn yr hafaliad arall, 3x-y=2.

$$3\left(-2y-4\right)-y=2$$

Lluoswch 3 â -2y-4.

$$-6y-12-y=2$$

Adio -6y at -y.

$$-7y-12=2$$

Adio 12 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-7y=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=-2y-4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\left(-2\right)-4$$

Lluoswch -2 â -2.

$$x=4-4$$

Adio -4 at 4.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-x-2y=4,3x-y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 4+\frac{2}{7}\times 2\\-\frac{3}{7}\times 4-\frac{1}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=0,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-x-2y=4,3x-y=2$$

I wneud -x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â -1.

$$3\left(-1\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 4,-3x-\left(-y\right)=-2$$

Symleiddio.

$$-3x-6y=12,-3x+y=-2$$

Tynnwch -3x+y=-2 o -3x-6y=12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-3x+3x-6y-y=12+2$$

Adio -3x at 3x. Mae'r termau -3x a 3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-6y-y=12+2$$

Adio -6y at -y.

$$-7y=12+2$$

Adio 12 at 2.

$$-7y=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn 3x-y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-\left(-2\right)=2$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=-2$$