Datrys {l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-9x+6y=13$$

Tynnu 6y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-9x=-6y+13$$

Rhannu’r ddwy ochr â -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{9} â -6y+13.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

Amnewid \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} am x yn yr hafaliad arall, cx+8y=-12.

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

Lluoswch c â \frac{2y}{3}-\frac{13}{9}.

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

Adio \frac{2cy}{3} at 8y.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

Adio \frac{13c}{9} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

Rhannu’r ddwy ochr â \frac{2c}{3}+8.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Cyfnewidiwch \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} am y yn x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

Lluoswch \frac{2}{3} â \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}.

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

Adio -\frac{13}{9} at \frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)}.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

I wneud -9x a cx yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â c a holl dermau naill ochr yr ail â -9.

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

Symleiddio.

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

Tynnwch \left(-9c\right)x-72y=108 o \left(-9c\right)x+6cy=13c trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

Adio -9cx at 9cx. Mae'r termau -9cx a 9cx yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6cy+72y=13c-108$$

Adio 6cy at 72y.

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

Rhannu’r ddwy ochr â 72+6c.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Cyfnewidiwch \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} am y yn cx+8y=-12. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

Lluoswch 8 â \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}.

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

Tynnu \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

Rhannu’r ddwy ochr â c.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$