Datrys {l}{-8x+7y=13}{7x-9y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = 13 } \\ { 7 x - 9 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-8x+7y=13$$

Tynnu 7y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-8x=-7y+13$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y+13\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{8} â -7y+13.

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}$$

Amnewid \frac{7y-13}{8} am x yn yr hafaliad arall, 7x-9y=-20.

$$7\left(\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}\right)-9y=-20$$

Lluoswch 7 â \frac{7y-13}{8}.

$$\frac{49}{8}y-\frac{91}{8}-9y=-20$$

Adio \frac{49y}{8} at -9y.

$$-\frac{23}{8}y-\frac{91}{8}=-20$$

Adio \frac{91}{8} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{23}{8}y=-\frac{69}{8}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{23}{8}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{7}{8}\times 3-\frac{13}{8}$$

Lluoswch \frac{7}{8} â 3.

$$x=\frac{21-13}{8}$$

Adio -\frac{13}{8} at \frac{21}{8} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\\-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}&-\frac{7}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{8}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}\times 13-\frac{7}{23}\left(-20\right)\\-\frac{7}{23}\times 13-\frac{8}{23}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

I wneud -8x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â -8.

$$7\left(-8\right)x+7\times 7y=7\times 13,-8\times 7x-8\left(-9\right)y=-8\left(-20\right)$$

Symleiddio.

$$-56x+49y=91,-56x+72y=160$$

Tynnwch -56x+72y=160 o -56x+49y=91 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-56x+56x+49y-72y=91-160$$

Adio -56x at 56x. Mae'r termau -56x a 56x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$49y-72y=91-160$$

Adio 49y at -72y.

$$-23y=91-160$$

Adio 91 at -160.

$$-23y=-69$$

Rhannu’r ddwy ochr â -23.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 7x-9y=-20. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x-9\times 3=-20$$

Lluoswch -9 â 3.

$$7x-27=-20$$

Adio 27 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=3$$