Datrys {l}{-7x+8y=-1}{-6x-4y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x + 8 y = - 1 } \\ { - 6 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{29}{19} = -1\frac{10}{19} \approx -1.526315789$$

$$y = -\frac{111}{76} = -1\frac{35}{76} \approx -1.460526316$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-7x+8y=-1,-6x-4y=15$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-7x+8y=-1$$

Tynnu 8y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-7x=-8y-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8y-1\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{7} â -8y-1.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{1}{7}$$

Amnewid \frac{8y+1}{7} am x yn yr hafaliad arall, -6x-4y=15.

$$-6\left(\frac{8}{7}y+\frac{1}{7}\right)-4y=15$$

Lluoswch -6 â \frac{8y+1}{7}.

$$-\frac{48}{7}y-\frac{6}{7}-4y=15$$

Adio -\frac{48y}{7} at -4y.

$$-\frac{76}{7}y-\frac{6}{7}=15$$

Adio \frac{6}{7} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{76}{7}y=\frac{111}{7}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{76}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{111}{76}$$

Cyfnewidiwch -\frac{111}{76} am y yn x=\frac{8}{7}y+\frac{1}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{111}{76}\right)+\frac{1}{7}$$

Lluoswch \frac{8}{7} â -\frac{111}{76} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{222}{133}+\frac{1}{7}$$

Adio \frac{1}{7} at -\frac{222}{133} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{29}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{29}{19},y=-\frac{111}{76}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-7x+8y=-1,-6x-4y=15$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{3}{38}&-\frac{7}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\left(-1\right)-\frac{2}{19}\times 15\\\frac{3}{38}\left(-1\right)-\frac{7}{76}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{29}{19}\\-\frac{111}{76}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{29}{19},y=-\frac{111}{76}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-7x+8y=-1,-6x-4y=15$$

I wneud -7x a -6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -6 a holl dermau naill ochr yr ail â -7.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=-6\left(-1\right),-7\left(-6\right)x-7\left(-4\right)y=-7\times 15$$

Symleiddio.

$$42x-48y=6,42x+28y=-105$$

Tynnwch 42x+28y=-105 o 42x-48y=6 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$42x-42x-48y-28y=6+105$$

Adio 42x at -42x. Mae'r termau 42x a -42x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-48y-28y=6+105$$

Adio -48y at -28y.

$$-76y=6+105$$

Adio 6 at 105.

$$-76y=111$$

Rhannu’r ddwy ochr â -76.

$$y=-\frac{111}{76}$$

Cyfnewidiwch -\frac{111}{76} am y yn -6x-4y=15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-6x-4\left(-\frac{111}{76}\right)=15$$

Lluoswch -4 â -\frac{111}{76}.

$$-6x+\frac{111}{19}=15$$

Tynnu \frac{111}{19} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-6x=\frac{174}{19}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$x=-\frac{29}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{29}{19},y=-\frac{111}{76}$$