Datrys {l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -5 â x-y.

$$-5x+5y+3y=2x$$

Cyfuno 5y a 3y i gael 8y.

$$-5x+8y=2x$$

Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$-5x+8y-2x=0$$

Cyfuno -5x a -2x i gael -7x.

$$-7x+8y=0$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. I ddod o hyd i wrthwyneb 6x+7, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$2y-6x-7=-2$$

Ychwanegu 7 at y ddwy ochr.

$$2y-6x=-2+7$$

Adio -2 a 7 i gael 5.

$$2y-6x=5$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-7x+8y=0$$

Tynnu 8y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-7x=-8y$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

Lluoswch -\frac{1}{7} â -8y.

$$x=\frac{8}{7}y$$

Amnewid \frac{8y}{7} am x yn yr hafaliad arall, -6x+2y=5.

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

Lluoswch -6 â \frac{8y}{7}.

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

Adio -\frac{48y}{7} at 2y.

$$-\frac{34}{7}y=5$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{34}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{35}{34}$$

Cyfnewidiwch -\frac{35}{34} am y yn x=\frac{8}{7}y. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

Lluoswch \frac{8}{7} â -\frac{35}{34} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{20}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -5 â x-y.

$$-5x+5y+3y=2x$$

Cyfuno 5y a 3y i gael 8y.

$$-5x+8y=2x$$

Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$-5x+8y-2x=0$$

Cyfuno -5x a -2x i gael -7x.

$$-7x+8y=0$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. I ddod o hyd i wrthwyneb 6x+7, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$2y-6x-7=-2$$

Ychwanegu 7 at y ddwy ochr.

$$2y-6x=-2+7$$

Adio -2 a 7 i gael 5.

$$2y-6x=5$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -5 â x-y.

$$-5x+5y+3y=2x$$

Cyfuno 5y a 3y i gael 8y.

$$-5x+8y=2x$$

Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$-5x+8y-2x=0$$

Cyfuno -5x a -2x i gael -7x.

$$-7x+8y=0$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. I ddod o hyd i wrthwyneb 6x+7, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$2y-6x-7=-2$$

Ychwanegu 7 at y ddwy ochr.

$$2y-6x=-2+7$$

Adio -2 a 7 i gael 5.

$$2y-6x=5$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

I wneud -7x a -6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -6 a holl dermau naill ochr yr ail â -7.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

Symleiddio.

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

Tynnwch 42x-14y=-35 o 42x-48y=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$42x-42x-48y+14y=35$$

Adio 42x at -42x. Mae'r termau 42x a -42x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-48y+14y=35$$

Adio -48y at 14y.

$$-34y=35$$

Rhannu’r ddwy ochr â -34.

$$y=-\frac{35}{34}$$

Cyfnewidiwch -\frac{35}{34} am y yn -6x+2y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

Lluoswch 2 â -\frac{35}{34}.

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

Adio \frac{35}{17} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-6x=\frac{120}{17}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$x=-\frac{20}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$