Datrys {l}{-4x+9y=9}{x-3y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 9 y = 9 } \\ { x - 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=9$$

$$y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-4x+9y=9$$

Tynnu 9y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4x=-9y+9$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-9y+9\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{4} â -9y+9.

$$x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}$$

Amnewid \frac{-9+9y}{4} am x yn yr hafaliad arall, x-3y=-6.

$$\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}-3y=-6$$

Adio \frac{9y}{4} at -3y.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{9}{4}=-6$$

Adio \frac{9}{4} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{3}{4}y=-\frac{15}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{3}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{9}{4}\times 5-\frac{9}{4}$$

Lluoswch \frac{9}{4} â 5.

$$x=\frac{45-9}{4}$$

Adio -\frac{9}{4} at \frac{45}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{9}{-4\left(-3\right)-9}\\-\frac{1}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-3\left(-6\right)\\-\frac{1}{3}\times 9-\frac{4}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=9,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

I wneud -4x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â -4.

$$-4x+9y=9,-4x-4\left(-3\right)y=-4\left(-6\right)$$

Symleiddio.

$$-4x+9y=9,-4x+12y=24$$

Tynnwch -4x+12y=24 o -4x+9y=9 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-4x+4x+9y-12y=9-24$$

Adio -4x at 4x. Mae'r termau -4x a 4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y-12y=9-24$$

Adio 9y at -12y.

$$-3y=9-24$$

Adio 9 at -24.

$$-3y=-15$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x-3y=-6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-3\times 5=-6$$

Lluoswch -3 â 5.

$$x-15=-6$$

Adio 15 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=5$$