Datrys {l}{-4x+5y=24}{y=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 5 y = 24 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$y-2x=0$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-4x+5y=24$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4x=-5y+24$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-5y+24\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{4} â -5y+24.

$$x=\frac{5}{4}y-6$$

Amnewid \frac{5y}{4}-6 am x yn yr hafaliad arall, -2x+y=0.

$$-2\left(\frac{5}{4}y-6\right)+y=0$$

Lluoswch -2 â \frac{5y}{4}-6.

$$-\frac{5}{2}y+12+y=0$$

Adio -\frac{5y}{2} at y.

$$-\frac{3}{2}y+12=0$$

Tynnu 12 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{3}{2}y=-12$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{3}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=8$$

Cyfnewidiwch 8 am y yn x=\frac{5}{4}y-6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{5}{4}\times 8-6$$

Lluoswch \frac{5}{4} â 8.

$$x=10-6$$

Adio -6 at 10.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$y-2x=0$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-4-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{4}{-4-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 24\\\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$y-2x=0$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

I wneud -4x a -2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â -4.

$$-2\left(-4\right)x-2\times 5y=-2\times 24,-4\left(-2\right)x-4y=0$$

Symleiddio.

$$8x-10y=-48,8x-4y=0$$

Tynnwch 8x-4y=0 o 8x-10y=-48 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x-10y+4y=-48$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-10y+4y=-48$$

Adio -10y at 4y.

$$-6y=-48$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$y=8$$

Cyfnewidiwch 8 am y yn -2x+y=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-2x+8=0$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=-8$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=8$$