Datrys {l}{-3x+4y=-6}{5x-y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 4 y = - 6 } \\ { 5 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-3x+4y=-6,5x-y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-3x+4y=-6$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-4y-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4y-6\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â -4y-6.

$$x=\frac{4}{3}y+2$$

Amnewid \frac{4y}{3}+2 am x yn yr hafaliad arall, 5x-y=10.

$$5\left(\frac{4}{3}y+2\right)-y=10$$

Lluoswch 5 â \frac{4y}{3}+2.

$$\frac{20}{3}y+10-y=10$$

Adio \frac{20y}{3} at -y.

$$\frac{17}{3}y+10=10$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{17}{3}y=0$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{17}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=\frac{4}{3}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-3x+4y=-6,5x-y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{-3\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{-3\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{4}{17}\\\frac{5}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\left(-6\right)+\frac{4}{17}\times 10\\\frac{5}{17}\left(-6\right)+\frac{3}{17}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-3x+4y=-6,5x-y=10$$

I wneud -3x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â -3.

$$5\left(-3\right)x+5\times 4y=5\left(-6\right),-3\times 5x-3\left(-1\right)y=-3\times 10$$

Symleiddio.

$$-15x+20y=-30,-15x+3y=-30$$

Tynnwch -15x+3y=-30 o -15x+20y=-30 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-15x+15x+20y-3y=-30+30$$

Adio -15x at 15x. Mae'r termau -15x a 15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$20y-3y=-30+30$$

Adio 20y at -3y.

$$17y=-30+30$$

Adio -30 at 30.

$$17y=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 17.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn 5x-y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x=10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=0$$