Datrys {l}{-3x+3y=-3}{x-9y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 3 } \\ { x - 9 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-3x+3y=-3$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-3y-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-3\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â -3y-3.

$$x=y+1$$

Amnewid y+1 am x yn yr hafaliad arall, x-9y=-15.

$$y+1-9y=-15$$

Adio y at -9y.

$$-8y+1=-15$$

Tynnu 1 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-8y=-16$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=y+1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=2+1$$

Adio 1 at 2.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\\-\frac{1}{24}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

I wneud -3x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â -3.

$$-3x+3y=-3,-3x-3\left(-9\right)y=-3\left(-15\right)$$

Symleiddio.

$$-3x+3y=-3,-3x+27y=45$$

Tynnwch -3x+27y=45 o -3x+3y=-3 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-3x+3x+3y-27y=-3-45$$

Adio -3x at 3x. Mae'r termau -3x a 3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y-27y=-3-45$$

Adio 3y at -27y.

$$-24y=-3-45$$

Adio -3 at -45.

$$-24y=-48$$

Rhannu’r ddwy ochr â -24.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x-9y=-15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-9\times 2=-15$$

Lluoswch -9 â 2.

$$x-18=-15$$

Adio 18 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=2$$