Datrys {l}{-3x+2y=6}{3x+5y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 2 y = 6 } \\ { 3 x + 5 y = 36 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-3x+2y=6,3x+5y=36$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-3x+2y=6$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-2y+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2y+6\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â -2y+6.

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

Amnewid \frac{2y}{3}-2 am x yn yr hafaliad arall, 3x+5y=36.

$$3\left(\frac{2}{3}y-2\right)+5y=36$$

Lluoswch 3 â \frac{2y}{3}-2.

$$2y-6+5y=36$$

Adio 2y at 5y.

$$7y-6=36$$

Adio 6 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7y=42$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn x=\frac{2}{3}y-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{2}{3}\times 6-2$$

Lluoswch \frac{2}{3} â 6.

$$x=4-2$$

Adio -2 at 4.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-3x+2y=6,3x+5y=36$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-3&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\36\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-3&2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\36\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\36\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\36\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-3\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{-3\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 5-2\times 3}&-\frac{3}{-3\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\36\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\36\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{21}\times 6+\frac{2}{21}\times 36\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{1}{7}\times 36\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-3x+2y=6,3x+5y=36$$

I wneud -3x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â -3.

$$3\left(-3\right)x+3\times 2y=3\times 6,-3\times 3x-3\times 5y=-3\times 36$$

Symleiddio.

$$-9x+6y=18,-9x-15y=-108$$

Tynnwch -9x-15y=-108 o -9x+6y=18 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-9x+9x+6y+15y=18+108$$

Adio -9x at 9x. Mae'r termau -9x a 9x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6y+15y=18+108$$

Adio 6y at 15y.

$$21y=18+108$$

Adio 18 at 108.

$$21y=126$$

Rhannu’r ddwy ochr â 21.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn 3x+5y=36. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+5\times 6=36$$

Lluoswch 5 â 6.

$$3x+30=36$$

Tynnu 30 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=6$$