Datrys {l}{-3x+15y=59}{3x+4y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 15 y = 59 } \\ { 3 x + 4 y = 17 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-3x+15y=59$$

Tynnu 15y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-15y+59$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-15y+59\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â -15y+59.

$$x=5y-\frac{59}{3}$$

Amnewid 5y-\frac{59}{3} am x yn yr hafaliad arall, 3x+4y=17.

$$3\left(5y-\frac{59}{3}\right)+4y=17$$

Lluoswch 3 â 5y-\frac{59}{3}.

$$15y-59+4y=17$$

Adio 15y at 4y.

$$19y-59=17$$

Adio 59 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$19y=76$$

Rhannu’r ddwy ochr â 19.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn x=5y-\frac{59}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=5\times 4-\frac{59}{3}$$

Lluoswch 5 â 4.

$$x=20-\frac{59}{3}$$

Adio -\frac{59}{3} at 20.

$$x=\frac{1}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{15}{-3\times 4-15\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}&\frac{5}{19}\\\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}\times 59+\frac{5}{19}\times 17\\\frac{1}{19}\times 59+\frac{1}{19}\times 17\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

I wneud -3x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â -3.

$$3\left(-3\right)x+3\times 15y=3\times 59,-3\times 3x-3\times 4y=-3\times 17$$

Symleiddio.

$$-9x+45y=177,-9x-12y=-51$$

Tynnwch -9x-12y=-51 o -9x+45y=177 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-9x+9x+45y+12y=177+51$$

Adio -9x at 9x. Mae'r termau -9x a 9x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$45y+12y=177+51$$

Adio 45y at 12y.

$$57y=177+51$$

Adio 177 at 51.

$$57y=228$$

Rhannu’r ddwy ochr â 57.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn 3x+4y=17. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+4\times 4=17$$

Lluoswch 4 â 4.

$$3x+16=17$$

Tynnu 16 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$