Datrys {l}{-3x+10y=1}{2x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 10 y = 1 } \\ { 2 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-3x+10y=1,2x-y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-3x+10y=1$$

Tynnu 10y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-10y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-10y+1\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â -10y+1.

$$x=\frac{10}{3}y-\frac{1}{3}$$

Amnewid \frac{10y-1}{3} am x yn yr hafaliad arall, 2x-y=5.

$$2\left(\frac{10}{3}y-\frac{1}{3}\right)-y=5$$

Lluoswch 2 â \frac{10y-1}{3}.

$$\frac{20}{3}y-\frac{2}{3}-y=5$$

Adio \frac{20y}{3} at -y.

$$\frac{17}{3}y-\frac{2}{3}=5$$

Adio \frac{2}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{17}{3}y=\frac{17}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{17}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=\frac{10}{3}y-\frac{1}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{10-1}{3}$$

Adio -\frac{1}{3} at \frac{10}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-3x+10y=1,2x-y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&10\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-10\times 2}&-\frac{10}{-3\left(-1\right)-10\times 2}\\-\frac{2}{-3\left(-1\right)-10\times 2}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-10\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{10}{17}\\\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}+\frac{10}{17}\times 5\\\frac{2}{17}+\frac{3}{17}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-3x+10y=1,2x-y=5$$

I wneud -3x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â -3.

$$2\left(-3\right)x+2\times 10y=2,-3\times 2x-3\left(-1\right)y=-3\times 5$$

Symleiddio.

$$-6x+20y=2,-6x+3y=-15$$

Tynnwch -6x+3y=-15 o -6x+20y=2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-6x+6x+20y-3y=2+15$$

Adio -6x at 6x. Mae'r termau -6x a 6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$20y-3y=2+15$$

Adio 20y at -3y.

$$17y=2+15$$

Adio 2 at 15.

$$17y=17$$

Rhannu’r ddwy ochr â 17.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn 2x-y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-1=5$$

Adio 1 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$