Datrys {l}{-2x+y=-1}{4x-y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + y = - 1 } \\ { 4 x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-2$$

$$y=-5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-2x+y=-1$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=-y-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-y-1\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â -y-1.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Amnewid \frac{1+y}{2} am x yn yr hafaliad arall, 4x-y=-3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)-y=-3$$

Lluoswch 4 â \frac{1+y}{2}.

$$2y+2-y=-3$$

Adio 2y at -y.

$$y+2=-3$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=-5$$

Cyfnewidiwch -5 am y yn x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -5.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

Adio \frac{1}{2} at -\frac{5}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=-5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{-2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{-2\left(-1\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\2\left(-1\right)-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-2,y=-5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

I wneud -2x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â -2.

$$4\left(-2\right)x+4y=4\left(-1\right),-2\times 4x-2\left(-1\right)y=-2\left(-3\right)$$

Symleiddio.

$$-8x+4y=-4,-8x+2y=6$$

Tynnwch -8x+2y=6 o -8x+4y=-4 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-8x+8x+4y-2y=-4-6$$

Adio -8x at 8x. Mae'r termau -8x a 8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y-2y=-4-6$$

Adio 4y at -2y.

$$2y=-4-6$$

Adio -4 at -6.

$$2y=-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=-5$$

Cyfnewidiwch -5 am y yn 4x-y=-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x-\left(-5\right)=-3$$

Tynnu 5 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=-5$$