Datrys {l}{-2x+3y=13}{6x-5y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 13 } \\ { 6 x - 5 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=7$$

$$y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-2x+3y=13$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=-3y+13$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â -3y+13.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}$$

Amnewid \frac{3y-13}{2} am x yn yr hafaliad arall, 6x-5y=-3.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}\right)-5y=-3$$

Lluoswch 6 â \frac{3y-13}{2}.

$$9y-39-5y=-3$$

Adio 9y at -5y.

$$4y-39=-3$$

Adio 39 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4y=36$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$y=9$$

Cyfnewidiwch 9 am y yn x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{2}\times 9-\frac{13}{2}$$

Lluoswch \frac{3}{2} â 9.

$$x=\frac{27-13}{2}$$

Adio -\frac{13}{2} at \frac{27}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{-2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{2}{-2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\times 13+\frac{3}{8}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\times 13+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=7,y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-2x+3y=13,6x-5y=-3$$

I wneud -2x a 6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 6 a holl dermau naill ochr yr ail â -2.

$$6\left(-2\right)x+6\times 3y=6\times 13,-2\times 6x-2\left(-5\right)y=-2\left(-3\right)$$

Symleiddio.

$$-12x+18y=78,-12x+10y=6$$

Tynnwch -12x+10y=6 o -12x+18y=78 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-12x+12x+18y-10y=78-6$$

Adio -12x at 12x. Mae'r termau -12x a 12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$18y-10y=78-6$$

Adio 18y at -10y.

$$8y=78-6$$

Adio 78 at -6.

$$8y=72$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$y=9$$

Cyfnewidiwch 9 am y yn 6x-5y=-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$6x-5\times 9=-3$$

Lluoswch -5 â 9.

$$6x-45=-3$$

Adio 45 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=42$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=9$$