Datrys {l}{-2x+3y=1}{3x+-4y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 1 } \\ { 3 x + - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-2x+3y=1,3x-4y=-1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-2x+3y=1$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=-3y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â -3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

Amnewid \frac{3y-1}{2} am x yn yr hafaliad arall, 3x-4y=-1.

$$3\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)-4y=-1$$

Lluoswch 3 â \frac{3y-1}{2}.

$$\frac{9}{2}y-\frac{3}{2}-4y=-1$$

Adio \frac{9y}{2} at -4y.

$$\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}=-1$$

Adio \frac{3}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

Adio -\frac{1}{2} at \frac{3}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-2x+3y=1,3x-4y=-1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-2\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{-2\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{-2\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4+3\left(-1\right)\\3+2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-2x+3y=1,3x-4y=-1$$

I wneud -2x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â -2.

$$3\left(-2\right)x+3\times 3y=3,-2\times 3x-2\left(-4\right)y=-2\left(-1\right)$$

Symleiddio.

$$-6x+9y=3,-6x+8y=2$$

Tynnwch -6x+8y=2 o -6x+9y=3 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-6x+6x+9y-8y=3-2$$

Adio -6x at 6x. Mae'r termau -6x a 6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y-8y=3-2$$

Adio 9y at -8y.

$$y=3-2$$

Adio 3 at -2.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn 3x-4y=-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-4=-1$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=1$$