Datrys {l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 A + 3 B = 21 } \\ { - 15 B - 3 A = - 14 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer A, B

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer A drwy ynysu A ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-15A+3B=21$$

Tynnu 3B o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-15A=-3B+21$$

Rhannu’r ddwy ochr â -15.

$$A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{15} â -3B+21.

$$A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}$$

Amnewid \frac{-7+B}{5} am A yn yr hafaliad arall, -3A-15B=-14.

$$-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14$$

Lluoswch -3 â \frac{-7+B}{5}.

$$-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14$$

Adio -\frac{3B}{5} at -15B.

$$-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14$$

Tynnu \frac{21}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{78}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$B=\frac{7}{6}$$

Cyfnewidiwch \frac{7}{6} am B yn A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer A yn uniongyrchol.

$$A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}$$

Lluoswch \frac{1}{5} â \frac{7}{6} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}$$

Adio -\frac{7}{5} at \frac{7}{30} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics A a B.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

I wneud -15A a -3A yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -3 a holl dermau naill ochr yr ail â -15.

$$-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)$$

Symleiddio.

$$45A-9B=-63,45A+225B=210$$

Tynnwch 45A+225B=210 o 45A-9B=-63 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$45A-45A-9B-225B=-63-210$$

Adio 45A at -45A. Mae'r termau 45A a -45A yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-9B-225B=-63-210$$

Adio -9B at -225B.

$$-234B=-63-210$$

Adio -63 at -210.

$$-234B=-273$$

Rhannu’r ddwy ochr â -234.

$$B=\frac{7}{6}$$

Cyfnewidiwch \frac{7}{6} am B yn -3A-15B=-14. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer A yn uniongyrchol.

$$-3A-15\times \frac{7}{6}=-14$$

Lluoswch -15 â \frac{7}{6}.

$$-3A-\frac{35}{2}=-14$$

Adio \frac{35}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3A=\frac{7}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$