Datrys {l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=25$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-10x+20y=460$$

Tynnu 20y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-10x=-20y+460$$

Rhannu’r ddwy ochr â -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{10} â -20y+460.

$$x=2y-46$$

Amnewid -46+2y am x yn yr hafaliad arall, 30x+60y=1620.

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

Lluoswch 30 â -46+2y.

$$60y-1380+60y=1620$$

Adio 60y at 60y.

$$120y-1380=1620$$

Adio 1380 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$120y=3000$$

Rhannu’r ddwy ochr â 120.

$$y=25$$

Cyfnewidiwch 25 am y yn x=2y-46. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=2\times 25-46$$

Lluoswch 2 â 25.

$$x=50-46$$

Adio -46 at 50.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=25$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=25$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

I wneud -10x a 30x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 30 a holl dermau naill ochr yr ail â -10.

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

Symleiddio.

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

Tynnwch -300x-600y=-16200 o -300x+600y=13800 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

Adio -300x at 300x. Mae'r termau -300x a 300x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$600y+600y=13800+16200$$

Adio 600y at 600y.

$$1200y=13800+16200$$

Adio 13800 at 16200.

$$1200y=30000$$

Rhannu’r ddwy ochr â 1200.

$$y=25$$

Cyfnewidiwch 25 am y yn 30x+60y=1620. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$30x+60\times 25=1620$$

Lluoswch 60 â 25.

$$30x+1500=1620$$

Tynnu 1500 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$30x=120$$

Rhannu’r ddwy ochr â 30.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=25$$