Datrys {l}{text{(1)}8x+4y=16}{text{(2)}2(x-2y)=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (1) } 8 x + 4 y = 16 } \\ { \text { (2) } 2 ( x - 2 y ) = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x-2y=\frac{4}{2}$$

Rhannu 4 â 2 i gael 2.

$$x-2y=2$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$8x+4y=16,x-2y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$8x+4y=16$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$8x=-4y+16$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y+16\right)$$

Lluoswch \frac{1}{8} â -4y+16.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Amnewid -\frac{y}{2}+2 am x yn yr hafaliad arall, x-2y=2.

$$-\frac{1}{2}y+2-2y=2$$

Adio -\frac{y}{2} at -2y.

$$-\frac{5}{2}y+2=2$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{5}{2}y=0$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{5}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=-\frac{1}{2}y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x-2y=\frac{4}{2}$$

Rhannu 4 â 2 i gael 2.

$$x-2y=2$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$8x+4y=16,x-2y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{8\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{8\left(-2\right)-4}&\frac{8}{8\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{20}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 16+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{20}\times 16-\frac{2}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x-2y=\frac{4}{2}$$

Rhannu 4 â 2 i gael 2.

$$x-2y=2$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$8x+4y=16,x-2y=2$$

I wneud 8x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 8.

$$8x+4y=16,8x+8\left(-2\right)y=8\times 2$$

Symleiddio.

$$8x+4y=16,8x-16y=16$$

Tynnwch 8x-16y=16 o 8x+4y=16 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+4y+16y=16-16$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y+16y=16-16$$

Adio 4y at 16y.

$$20y=16-16$$

Adio 16 at -16.

$$20y=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 20.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x-2y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=0$$