Datrys {l}{text{(1)}5x+2y=9}{text{(2)}-2y+7x=3}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (1) } 5 x + 2 y = 9 } \\ { \text { (2) } - 2 y + 7 x = 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+2y=9,7x-2y=3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+2y=9$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-2y+9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+9\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -2y+9.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{9}{5}$$

Amnewid \frac{-2y+9}{5} am x yn yr hafaliad arall, 7x-2y=3.

$$7\left(-\frac{2}{5}y+\frac{9}{5}\right)-2y=3$$

Lluoswch 7 â \frac{-2y+9}{5}.

$$-\frac{14}{5}y+\frac{63}{5}-2y=3$$

Adio -\frac{14y}{5} at -2y.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{63}{5}=3$$

Tynnu \frac{63}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{24}{5}y=-\frac{48}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{24}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=-\frac{2}{5}y+\frac{9}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{5}\times 2+\frac{9}{5}$$

Lluoswch -\frac{2}{5} â 2.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Adio \frac{9}{5} at -\frac{4}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+2y=9,7x-2y=3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&2\\7&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 7}&-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{5\left(-2\right)-2\times 7}&\frac{5}{5\left(-2\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{7}{24}&-\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 9+\frac{1}{12}\times 3\\\frac{7}{24}\times 9-\frac{5}{24}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+2y=9,7x-2y=3$$

I wneud 5x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$7\times 5x+7\times 2y=7\times 9,5\times 7x+5\left(-2\right)y=5\times 3$$

Symleiddio.

$$35x+14y=63,35x-10y=15$$

Tynnwch 35x-10y=15 o 35x+14y=63 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$35x-35x+14y+10y=63-15$$

Adio 35x at -35x. Mae'r termau 35x a -35x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$14y+10y=63-15$$

Adio 14y at 10y.

$$24y=63-15$$

Adio 63 at -15.

$$24y=48$$

Rhannu’r ddwy ochr â 24.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 7x-2y=3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x-2\times 2=3$$

Lluoswch -2 â 2.

$$7x-4=3$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=2$$