Datrys {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, z

$$y=18$$

$$z=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluosi’r ddwy ochr â 3.

$$y+2z=4\times 3$$

Lluosi 4 a 3 i gael 12.

$$y+2z=12$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Lluosi 2 a 7 i gael 14.

$$5y+14z=48$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$y+2z=12$$

Tynnu 2z o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=-2z+12$$

Amnewid -2z+12 am y yn yr hafaliad arall, 5y+14z=48.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

Lluoswch 5 â -2z+12.

$$-10z+60+14z=48$$

Adio -10z at 14z.

$$4z+60=48$$

Tynnu 60 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4z=-12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$z=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am z yn y=-2z+12. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

Lluoswch -2 â -3.

$$y=6+12$$

Adio 12 at 6.

$$y=18$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=18,z=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluosi’r ddwy ochr â 3.

$$y+2z=4\times 3$$

Lluosi 4 a 3 i gael 12.

$$y+2z=12$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Lluosi 2 a 7 i gael 14.

$$5y+14z=48$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a z.

$$y=18,z=-3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluosi’r ddwy ochr â 3.

$$y+2z=4\times 3$$

Lluosi 4 a 3 i gael 12.

$$y+2z=12$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Lluosi 2 a 7 i gael 14.

$$5y+14z=48$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

I wneud y a 5y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

Symleiddio.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

Tynnwch 5y+14z=48 o 5y+10z=60 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

Adio 5y at -5y. Mae'r termau 5y a -5y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$10z-14z=60-48$$

Adio 10z at -14z.

$$-4z=60-48$$

Adio 60 at -48.

$$-4z=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$z=-3$$

Cyfnewidiwch -3 am z yn 5y+14z=48. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

Lluoswch 14 â -3.

$$5y-42=48$$

Adio 42 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5y=90$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=18$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=18,z=-3$$