Datrys {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x=4$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. All y newidyn x ddim fod yn hafal i \frac{4}{3} gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 2\left(3x-4\right), lluoswm cyffredin lleiaf 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$2y+2-3x=-4$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr.

$$2y-3x=-4-2$$

Tynnu 2 o -4 i gael -6.

$$2y-3x=-6$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. All y newidyn x ddim fod yn hafal i -\frac{11}{3} gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$5x+y-3x=11$$

Cyfuno 5x a -3x i gael 2x.

$$2x+y=11$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2y-3x=-6$$

Adio 3x at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=3x-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Amnewid \frac{3x}{2}-3 am y yn yr hafaliad arall, y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Adio \frac{3x}{2} at 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Adio 3 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{7}{2}x=14$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{7}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=4$$

Cyfnewidiwch 4 am x yn y=\frac{3}{2}x-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

Lluoswch \frac{3}{2} â 4.

$$y=6-3$$

Adio -3 at 6.

$$y=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=3,x=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. All y newidyn x ddim fod yn hafal i \frac{4}{3} gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 2\left(3x-4\right), lluoswm cyffredin lleiaf 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$2y+2-3x=-4$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr.

$$2y-3x=-4-2$$

Tynnu 2 o -4 i gael -6.

$$2y-3x=-6$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. All y newidyn x ddim fod yn hafal i -\frac{11}{3} gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$5x+y-3x=11$$

Cyfuno 5x a -3x i gael 2x.

$$2x+y=11$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=3,x=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. All y newidyn x ddim fod yn hafal i \frac{4}{3} gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 2\left(3x-4\right), lluoswm cyffredin lleiaf 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$2y+2-3x=-4$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr.

$$2y-3x=-4-2$$

Tynnu 2 o -4 i gael -6.

$$2y-3x=-6$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. All y newidyn x ddim fod yn hafal i -\frac{11}{3} gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$5x+y-3x=11$$

Cyfuno 5x a -3x i gael 2x.

$$2x+y=11$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

I wneud 2y a y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Symleiddio.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

Tynnwch 2y+4x=22 o 2y-3x=-6 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Adio 2y at -2y. Mae'r termau 2y a -2y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-3x-4x=-6-22$$

Adio -3x at -4x.

$$-7x=-6-22$$

Adio -6 at -22.

$$-7x=-28$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$x=4$$

Cyfnewidiwch 4 am x yn y+2x=11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y+2\times 4=11$$

Lluoswch 2 â 4.

$$y+8=11$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=3,x=4$$