Datrys {l}{x/5+y/4=4/5}{x/2+frac{y}{8}=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 4 } { 5 } } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 8 } = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5},\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5}$$

Tynnu \frac{y}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{5}x=-\frac{1}{4}y+\frac{4}{5}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 5.

$$x=5\left(-\frac{1}{4}y+\frac{4}{5}\right)$$

Lluoswch 5 â -\frac{y}{4}+\frac{4}{5}.

$$x=-\frac{5}{4}y+4$$

Amnewid -\frac{5y}{4}+4 am x yn yr hafaliad arall, \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2.

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{4}y+4\right)+\frac{1}{8}y=2$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -\frac{5y}{4}+4.

$$-\frac{5}{8}y+2+\frac{1}{8}y=2$$

Adio -\frac{5y}{8} at \frac{y}{8}.

$$-\frac{1}{2}y+2=2$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1}{2}y=0$$

Lluosi’r ddwy ochr â -2.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=-\frac{5}{4}y+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5},\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}&\frac{5}{2}\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\times \frac{4}{5}+\frac{5}{2}\times 2\\5\times \frac{4}{5}-2\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5},\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2$$

I wneud \frac{x}{5} a \frac{x}{2} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{1}{2} a holl dermau naill ochr yr ail â \frac{1}{5}.

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}y=\frac{1}{2}\times \frac{4}{5},\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}y=\frac{1}{5}\times 2$$

Symleiddio.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{8}y=\frac{2}{5},\frac{1}{10}x+\frac{1}{40}y=\frac{2}{5}$$

Tynnwch \frac{1}{10}x+\frac{1}{40}y=\frac{2}{5} o \frac{1}{10}x+\frac{1}{8}y=\frac{2}{5} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{10}x-\frac{1}{10}x+\frac{1}{8}y-\frac{1}{40}y=\frac{2-2}{5}$$

Adio \frac{x}{10} at -\frac{x}{10}. Mae'r termau \frac{x}{10} a -\frac{x}{10} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{1}{8}y-\frac{1}{40}y=\frac{2-2}{5}$$

Adio \frac{y}{8} at -\frac{y}{40}.

$$\frac{1}{10}y=\frac{2-2}{5}$$

Adio \frac{2}{5} at -\frac{2}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$\frac{1}{10}y=0$$

Lluosi’r ddwy ochr â 10.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{1}{2}x=2$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=0$$