Datrys {l}{x/47+y=86}{x+y/25=49}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 47 } + y = 86 } \\ { x + \frac { y } { 25 } = 49 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{53533}{1174} = 45\frac{703}{1174} \approx 45.598807496$$

$$y = \frac{99825}{1174} = 85\frac{35}{1174} \approx 85.029812606$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{47}x+y=86$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{47}x=-y+86$$

Lluosi’r ddwy ochr â 47.

$$x=47\left(-y+86\right)$$

Lluoswch 47 â -y+86.

$$x=-47y+4042$$

Amnewid -47y+4042 am x yn yr hafaliad arall, x+\frac{1}{25}y=49.

$$-47y+4042+\frac{1}{25}y=49$$

Adio -47y at \frac{y}{25}.

$$-\frac{1174}{25}y+4042=49$$

Tynnu 4042 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1174}{25}y=-3993$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{1174}{25}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

Cyfnewidiwch \frac{99825}{1174} am y yn x=-47y+4042. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-47\times \frac{99825}{1174}+4042$$

Lluoswch -47 â \frac{99825}{1174}.

$$x=-\frac{4691775}{1174}+4042$$

Adio 4042 at -\frac{4691775}{1174}.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&\frac{\frac{1}{47}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}&\frac{1175}{1174}\\\frac{1175}{1174}&-\frac{25}{1174}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}\times 86+\frac{1175}{1174}\times 49\\\frac{1175}{1174}\times 86-\frac{25}{1174}\times 49\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53533}{1174}\\\frac{99825}{1174}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

I wneud \frac{x}{47} a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â \frac{1}{47}.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}y=\frac{1}{47}\times 49$$

Symleiddio.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47}$$

Tynnwch \frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47} o \frac{1}{47}x+y=86 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{47}x-\frac{1}{47}x+y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

Adio \frac{x}{47} at -\frac{x}{47}. Mae'r termau \frac{x}{47} a -\frac{x}{47} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

Adio y at -\frac{y}{1175}.

$$\frac{1174}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

Adio 86 at -\frac{49}{47}.

$$\frac{1174}{1175}y=\frac{3993}{47}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{1174}{1175}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

Cyfnewidiwch \frac{99825}{1174} am y yn x+\frac{1}{25}y=49. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+\frac{1}{25}\times \frac{99825}{1174}=49$$

Lluoswch \frac{1}{25} â \frac{99825}{1174} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x+\frac{3993}{1174}=49$$

Tynnu \frac{3993}{1174} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$