Datrys {l}{x/4+y/2=7}{x/3-y/4=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 2 } = 7 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=12$$

$$y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 4, lluoswm cyffredin lleiaf 4,2.

$$x+2y=28$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,4.

$$4x-3y=24$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+2y=28$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-2y+28$$

Amnewid -2y+28 am x yn yr hafaliad arall, 4x-3y=24.

$$4\left(-2y+28\right)-3y=24$$

Lluoswch 4 â -2y+28.

$$-8y+112-3y=24$$

Adio -8y at -3y.

$$-11y+112=24$$

Tynnu 112 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-11y=-88$$

Rhannu’r ddwy ochr â -11.

$$y=8$$

Cyfnewidiwch 8 am y yn x=-2y+28. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\times 8+28$$

Lluoswch -2 â 8.

$$x=-16+28$$

Adio 28 at -16.

$$x=12$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=12,y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 4, lluoswm cyffredin lleiaf 4,2.

$$x+2y=28$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,4.

$$4x-3y=24$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 4}&-\frac{2}{-3-2\times 4}\\-\frac{4}{-3-2\times 4}&\frac{1}{-3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 28+\frac{2}{11}\times 24\\\frac{4}{11}\times 28-\frac{1}{11}\times 24\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=12,y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 4, lluoswm cyffredin lleiaf 4,2.

$$x+2y=28$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,4.

$$4x-3y=24$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

I wneud x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$4x+4\times 2y=4\times 28,4x-3y=24$$

Symleiddio.

$$4x+8y=112,4x-3y=24$$

Tynnwch 4x-3y=24 o 4x+8y=112 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4x-4x+8y+3y=112-24$$

Adio 4x at -4x. Mae'r termau 4x a -4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$8y+3y=112-24$$

Adio 8y at 3y.

$$11y=112-24$$

Adio 112 at -24.

$$11y=88$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$y=8$$

Cyfnewidiwch 8 am y yn 4x-3y=24. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x-3\times 8=24$$

Lluoswch -3 â 8.

$$4x-24=24$$

Adio 24 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=48$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=12$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=12,y=8$$