Datrys {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2.

$$2x-3y=48$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 15, lluoswm cyffredin lleiaf 5,3.

$$3x+5y=15$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x-3y=48$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=3y+48$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

Amnewid \frac{3y}{2}+24 am x yn yr hafaliad arall, 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

Lluoswch 3 â \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

Adio \frac{9y}{2} at 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

Tynnu 72 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{19}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-6$$

Cyfnewidiwch -6 am y yn x=\frac{3}{2}y+24. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

Lluoswch \frac{3}{2} â -6.

$$x=-9+24$$

Adio 24 at -9.

$$x=15$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=15,y=-6$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2.

$$2x-3y=48$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 15, lluoswm cyffredin lleiaf 5,3.

$$3x+5y=15$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=15,y=-6$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2.

$$2x-3y=48$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 15, lluoswm cyffredin lleiaf 5,3.

$$3x+5y=15$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

I wneud 2x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Symleiddio.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

Tynnwch 6x+10y=30 o 6x-9y=144 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-9y-10y=144-30$$

Adio -9y at -10y.

$$-19y=144-30$$

Adio 144 at -30.

$$-19y=114$$

Rhannu’r ddwy ochr â -19.

$$y=-6$$

Cyfnewidiwch -6 am y yn 3x+5y=15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

Lluoswch 5 â -6.

$$3x-30=15$$

Adio 30 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=45$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=15$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=15,y=-6$$