Datrys {l}{x/3+y/2=8}{x/5+y/6=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 6 } = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=15$$

$$y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8$$

Tynnu \frac{y}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}y+8$$

Lluosi’r ddwy ochr â 3.

$$x=3\left(-\frac{1}{2}y+8\right)$$

Lluoswch 3 â -\frac{y}{2}+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+24$$

Amnewid -\frac{3y}{2}+24 am x yn yr hafaliad arall, \frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}y+24\right)+\frac{1}{6}y=4$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -\frac{3y}{2}+24.

$$-\frac{3}{10}y+\frac{24}{5}+\frac{1}{6}y=4$$

Adio -\frac{3y}{10} at \frac{y}{6}.

$$-\frac{2}{15}y+\frac{24}{5}=4$$

Tynnu \frac{24}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{2}{15}y=-\frac{4}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{2}{15}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn x=-\frac{3}{2}y+24. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+24$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â 6.

$$x=-9+24$$

Adio 24 at -9.

$$x=15$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=15,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}&\frac{45}{4}\\\frac{9}{2}&-\frac{15}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}\times 8+\frac{45}{4}\times 4\\\frac{9}{2}\times 8-\frac{15}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=15,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

I wneud \frac{x}{3} a \frac{x}{5} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{1}{5} a holl dermau naill ochr yr ail â \frac{1}{3}.

$$\frac{1}{5}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{5}\times 8,\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{3}\times 4$$

Symleiddio.

$$\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5},\frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3}$$

Tynnwch \frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3} o \frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{15}x-\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

Adio \frac{x}{15} at -\frac{x}{15}. Mae'r termau \frac{x}{15} a -\frac{x}{15} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

Adio \frac{y}{10} at -\frac{y}{18}.

$$\frac{2}{45}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

Adio \frac{8}{5} at -\frac{4}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$\frac{2}{45}y=\frac{4}{15}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{2}{45}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn \frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}\times 6=4$$

Lluoswch \frac{1}{6} â 6.

$$\frac{1}{5}x+1=4$$

Tynnu 1 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{5}x=3$$

Lluosi’r ddwy ochr â 5.

$$x=15$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=15,y=6$$