Datrys {l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 20, lluoswm cyffredin lleiaf 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 10 â x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Tynnu 20 o 20 i gael 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Tynnu 5x o'r ddwy ochr.

$$10x+4y-5x=20$$

Cyfuno 10x a -5x i gael 5x.

$$5x+4y=20$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Adio -1 a 9 i gael 8.

$$3x+3y=x+8$$

Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$3x+3y-x=8$$

Cyfuno 3x a -x i gael 2x.

$$2x+3y=8$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+4y=20$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-4y+20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -4y+20.

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

Amnewid -\frac{4y}{5}+4 am x yn yr hafaliad arall, 2x+3y=8.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

Lluoswch 2 â -\frac{4y}{5}+4.

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

Adio -\frac{8y}{5} at 3y.

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{7}{5}y=0$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{7}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=-\frac{4}{5}y+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 20, lluoswm cyffredin lleiaf 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 10 â x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Tynnu 20 o 20 i gael 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Tynnu 5x o'r ddwy ochr.

$$10x+4y-5x=20$$

Cyfuno 10x a -5x i gael 5x.

$$5x+4y=20$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Adio -1 a 9 i gael 8.

$$3x+3y=x+8$$

Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$3x+3y-x=8$$

Cyfuno 3x a -x i gael 2x.

$$2x+3y=8$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 20, lluoswm cyffredin lleiaf 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 10 â x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Tynnu 20 o 20 i gael 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Tynnu 5x o'r ddwy ochr.

$$10x+4y-5x=20$$

Cyfuno 10x a -5x i gael 5x.

$$5x+4y=20$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Adio -1 a 9 i gael 8.

$$3x+3y=x+8$$

Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$3x+3y-x=8$$

Cyfuno 3x a -x i gael 2x.

$$2x+3y=8$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

I wneud 5x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

Symleiddio.

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

Tynnwch 10x+15y=40 o 10x+8y=40 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$8y-15y=40-40$$

Adio 8y at -15y.

$$-7y=40-40$$

Adio 40 at -40.

$$-7y=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn 2x+3y=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x=8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=0$$