Datrys {l}{9x+4y/3-5x-11/2=13-y}{13x-7y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 9 x + 4 y } { 3 } - \frac { 5 x - 11 } { 2 } = 13 - y } \\ { 13 x - 7 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

Cyfuno 18x a -15x i gael 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

Ychwanegu 6y at y ddwy ochr.

$$3x+8y+33+6y=78$$

Cyfuno 8y a 6y i gael 14y.

$$3x+14y+33=78$$

Tynnu 33 o'r ddwy ochr.

$$3x+14y=78-33$$

Tynnu 33 o 78 i gael 45.

$$3x+14y=45$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+14y=45$$

Tynnu 14y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-14y+45$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-14y+45\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -14y+45.

$$x=-\frac{14}{3}y+15$$

Amnewid -\frac{14y}{3}+15 am x yn yr hafaliad arall, 13x-7y=-8.

$$13\left(-\frac{14}{3}y+15\right)-7y=-8$$

Lluoswch 13 â -\frac{14y}{3}+15.

$$-\frac{182}{3}y+195-7y=-8$$

Adio -\frac{182y}{3} at -7y.

$$-\frac{203}{3}y+195=-8$$

Tynnu 195 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{203}{3}y=-203$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{203}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-\frac{14}{3}y+15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{14}{3}\times 3+15$$

Lluoswch -\frac{14}{3} â 3.

$$x=-14+15$$

Adio 15 at -14.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

Cyfuno 18x a -15x i gael 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

Ychwanegu 6y at y ddwy ochr.

$$3x+8y+33+6y=78$$

Cyfuno 8y a 6y i gael 14y.

$$3x+14y+33=78$$

Tynnu 33 o'r ddwy ochr.

$$3x+14y=78-33$$

Tynnu 33 o 78 i gael 45.

$$3x+14y=45$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-14\times 13}&-\frac{14}{3\left(-7\right)-14\times 13}\\-\frac{13}{3\left(-7\right)-14\times 13}&\frac{3}{3\left(-7\right)-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{13}{203}&-\frac{3}{203}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 45+\frac{2}{29}\left(-8\right)\\\frac{13}{203}\times 45-\frac{3}{203}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

Cyfuno 18x a -15x i gael 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

Ychwanegu 6y at y ddwy ochr.

$$3x+8y+33+6y=78$$

Cyfuno 8y a 6y i gael 14y.

$$3x+14y+33=78$$

Tynnu 33 o'r ddwy ochr.

$$3x+14y=78-33$$

Tynnu 33 o 78 i gael 45.

$$3x+14y=45$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

I wneud 3x a 13x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 13 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$13\times 3x+13\times 14y=13\times 45,3\times 13x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right)$$

Symleiddio.

$$39x+182y=585,39x-21y=-24$$

Tynnwch 39x-21y=-24 o 39x+182y=585 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$39x-39x+182y+21y=585+24$$

Adio 39x at -39x. Mae'r termau 39x a -39x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$182y+21y=585+24$$

Adio 182y at 21y.

$$203y=585+24$$

Adio 585 at 24.

$$203y=609$$

Rhannu’r ddwy ochr â 203.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 13x-7y=-8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$13x-7\times 3=-8$$

Lluoswch -7 â 3.

$$13x-21=-8$$

Adio 21 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$13x=13$$

Rhannu’r ddwy ochr â 13.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=3$$