Datrys {l}{5/4x-2/3y=3}{1/4x+5/3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 5 } { 4 } x - \frac { 2 } { 3 } y = 3 } \\ { \frac { 1 } { 4 } x + \frac { 5 } { 3 } y = 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$\frac{5}{4}x-\frac{2}{3}y=3,\frac{1}{4}x+\frac{5}{3}y=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\frac{5}{4}x-\frac{2}{3}y=3$$

Adio \frac{2y}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{4}x=\frac{2}{3}y+3$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{4}{5}\left(\frac{2}{3}y+3\right)$$

Lluoswch \frac{4}{5} â \frac{2y}{3}+3.

$$x=\frac{8}{15}y+\frac{12}{5}$$

Amnewid \frac{8y}{15}+\frac{12}{5} am x yn yr hafaliad arall, \frac{1}{4}x+\frac{5}{3}y=6.

$$\frac{1}{4}\left(\frac{8}{15}y+\frac{12}{5}\right)+\frac{5}{3}y=6$$

Lluoswch \frac{1}{4} â \frac{8y}{15}+\frac{12}{5}.

$$\frac{2}{15}y+\frac{3}{5}+\frac{5}{3}y=6$$

Adio \frac{2y}{15} at \frac{5y}{3}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{3}{5}=6$$

Tynnu \frac{3}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{9}{5}y=\frac{27}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{9}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=\frac{8}{15}y+\frac{12}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{8}{15}\times 3+\frac{12}{5}$$

Lluoswch \frac{8}{15} â 3.

$$x=\frac{8+12}{5}$$

Adio \frac{12}{5} at \frac{8}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$\frac{5}{4}x-\frac{2}{3}y=3,\frac{1}{4}x+\frac{5}{3}y=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{4}\times \frac{5}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{5}{4}\times \frac{5}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}\right)}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}\times \frac{5}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}\right)}&\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{4}\times \frac{5}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{27}&\frac{8}{27}\\-\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{27}\times 3+\frac{8}{27}\times 6\\-\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$\frac{5}{4}x-\frac{2}{3}y=3,\frac{1}{4}x+\frac{5}{3}y=6$$

I wneud \frac{5x}{4} a \frac{x}{4} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{1}{4} a holl dermau naill ochr yr ail â \frac{5}{4}.

$$\frac{1}{4}\times \frac{5}{4}x+\frac{1}{4}\left(-\frac{2}{3}\right)y=\frac{1}{4}\times 3,\frac{5}{4}\times \frac{1}{4}x+\frac{5}{4}\times \frac{5}{3}y=\frac{5}{4}\times 6$$

Symleiddio.

$$\frac{5}{16}x-\frac{1}{6}y=\frac{3}{4},\frac{5}{16}x+\frac{25}{12}y=\frac{15}{2}$$

Tynnwch \frac{5}{16}x+\frac{25}{12}y=\frac{15}{2} o \frac{5}{16}x-\frac{1}{6}y=\frac{3}{4} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{5}{16}x-\frac{5}{16}x-\frac{1}{6}y-\frac{25}{12}y=\frac{3}{4}-\frac{15}{2}$$

Adio \frac{5x}{16} at -\frac{5x}{16}. Mae'r termau \frac{5x}{16} a -\frac{5x}{16} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-\frac{1}{6}y-\frac{25}{12}y=\frac{3}{4}-\frac{15}{2}$$

Adio -\frac{y}{6} at -\frac{25y}{12}.

$$-\frac{9}{4}y=\frac{3}{4}-\frac{15}{2}$$

Adio \frac{3}{4} at -\frac{15}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$-\frac{9}{4}y=-\frac{27}{4}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{9}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn \frac{1}{4}x+\frac{5}{3}y=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{1}{4}x+\frac{5}{3}\times 3=6$$

Lluoswch \frac{5}{3} â 3.

$$\frac{1}{4}x+5=6$$

Tynnu 5 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{4}x=1$$

Lluosi’r ddwy ochr â 4.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=3$$