Datrys {l}{2/3y-1/4x=3}{1/4y+2/5x=7}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } y - \frac { 1 } { 4 } x = 3 } \\ { \frac { 1 } { 4 } y + \frac { 2 } { 5 } x = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x = \frac{940}{79} = 11\frac{71}{79} \approx 11.898734177$$

$$y = \frac{708}{79} = 8\frac{76}{79} \approx 8.962025316$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$\frac{2}{3}y-\frac{1}{4}x=3,\frac{1}{4}y+\frac{2}{5}x=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\frac{2}{3}y-\frac{1}{4}x=3$$

Adio \frac{x}{4} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{2}{3}y=\frac{1}{4}x+3$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{2}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{4}x+3\right)$$

Lluoswch \frac{3}{2} â \frac{x}{4}+3.

$$y=\frac{3}{8}x+\frac{9}{2}$$

Amnewid \frac{9}{2}+\frac{3x}{8} am y yn yr hafaliad arall, \frac{1}{4}y+\frac{2}{5}x=7.

$$\frac{1}{4}\left(\frac{3}{8}x+\frac{9}{2}\right)+\frac{2}{5}x=7$$

Lluoswch \frac{1}{4} â \frac{9}{2}+\frac{3x}{8}.

$$\frac{3}{32}x+\frac{9}{8}+\frac{2}{5}x=7$$

Adio \frac{3x}{32} at \frac{2x}{5}.

$$\frac{79}{160}x+\frac{9}{8}=7$$

Tynnu \frac{9}{8} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{79}{160}x=\frac{47}{8}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{79}{160}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{940}{79}$$

Cyfnewidiwch \frac{940}{79} am x yn y=\frac{3}{8}x+\frac{9}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=\frac{3}{8}\times \frac{940}{79}+\frac{9}{2}$$

Lluoswch \frac{3}{8} â \frac{940}{79} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=\frac{705}{158}+\frac{9}{2}$$

Adio \frac{9}{2} at \frac{705}{158} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=\frac{708}{79}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{708}{79},x=\frac{940}{79}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$\frac{2}{3}y-\frac{1}{4}x=3,\frac{1}{4}y+\frac{2}{5}x=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}&-\frac{-\frac{1}{4}}{\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{79}&\frac{60}{79}\\-\frac{60}{79}&\frac{160}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{79}\times 3+\frac{60}{79}\times 7\\-\frac{60}{79}\times 3+\frac{160}{79}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{708}{79}\\\frac{940}{79}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=\frac{708}{79},x=\frac{940}{79}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$\frac{2}{3}y-\frac{1}{4}x=3,\frac{1}{4}y+\frac{2}{5}x=7$$

I wneud \frac{2y}{3} a \frac{y}{4} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{1}{4} a holl dermau naill ochr yr ail â \frac{2}{3}.

$$\frac{1}{4}\times \frac{2}{3}y+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}\right)x=\frac{1}{4}\times 3,\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}y+\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}x=\frac{2}{3}\times 7$$

Symleiddio.

$$\frac{1}{6}y-\frac{1}{16}x=\frac{3}{4},\frac{1}{6}y+\frac{4}{15}x=\frac{14}{3}$$

Tynnwch \frac{1}{6}y+\frac{4}{15}x=\frac{14}{3} o \frac{1}{6}y-\frac{1}{16}x=\frac{3}{4} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{6}y-\frac{1}{6}y-\frac{1}{16}x-\frac{4}{15}x=\frac{3}{4}-\frac{14}{3}$$

Adio \frac{y}{6} at -\frac{y}{6}. Mae'r termau \frac{y}{6} a -\frac{y}{6} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-\frac{1}{16}x-\frac{4}{15}x=\frac{3}{4}-\frac{14}{3}$$

Adio -\frac{x}{16} at -\frac{4x}{15}.

$$-\frac{79}{240}x=\frac{3}{4}-\frac{14}{3}$$

Adio \frac{3}{4} at -\frac{14}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$-\frac{79}{240}x=-\frac{47}{12}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{79}{240}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{940}{79}$$

Cyfnewidiwch \frac{940}{79} am x yn \frac{1}{4}y+\frac{2}{5}x=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$\frac{1}{4}y+\frac{2}{5}\times \frac{940}{79}=7$$

Lluoswch \frac{2}{5} â \frac{940}{79} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$\frac{1}{4}y+\frac{376}{79}=7$$

Tynnu \frac{376}{79} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{4}y=\frac{177}{79}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 4.

$$y=\frac{708}{79}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{708}{79},x=\frac{940}{79}$$