Datrys {l}{2/3A+B=400}{A+4/5B=460}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } A + B = 400 } \\ { A + \frac { 4 } { 5 } B = 460 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer A, B

$$A=300$$

$$B=200$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer A drwy ynysu A ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\frac{2}{3}A+B=400$$

Tynnu B o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{2}{3}A=-B+400$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{2}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$A=\frac{3}{2}\left(-B+400\right)$$

Lluoswch \frac{3}{2} â -B+400.

$$A=-\frac{3}{2}B+600$$

Amnewid -\frac{3B}{2}+600 am A yn yr hafaliad arall, A+\frac{4}{5}B=460.

$$-\frac{3}{2}B+600+\frac{4}{5}B=460$$

Adio -\frac{3B}{2} at \frac{4B}{5}.

$$-\frac{7}{10}B+600=460$$

Tynnu 600 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{7}{10}B=-140$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{7}{10}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$B=200$$

Cyfnewidiwch 200 am B yn A=-\frac{3}{2}B+600. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer A yn uniongyrchol.

$$A=-\frac{3}{2}\times 200+600$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â 200.

$$A=-300+600$$

Adio 600 at -300.

$$A=300$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$A=300,B=200$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{10}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}\times 400+\frac{15}{7}\times 460\\\frac{15}{7}\times 400-\frac{10}{7}\times 460\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics A a B.

$$A=300,B=200$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

I wneud \frac{2A}{3} a A yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â \frac{2}{3}.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}B=\frac{2}{3}\times 460$$

Symleiddio.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}$$

Tynnwch \frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3} o \frac{2}{3}A+B=400 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{2}{3}A-\frac{2}{3}A+B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

Adio \frac{2A}{3} at -\frac{2A}{3}. Mae'r termau \frac{2A}{3} a -\frac{2A}{3} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

Adio B at -\frac{8B}{15}.

$$\frac{7}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

Adio 400 at -\frac{920}{3}.

$$\frac{7}{15}B=\frac{280}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{7}{15}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$B=200$$

Cyfnewidiwch 200 am B yn A+\frac{4}{5}B=460. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer A yn uniongyrchol.

$$A+\frac{4}{5}\times 200=460$$

Lluoswch \frac{4}{5} â 200.

$$A+160=460$$

Tynnu 160 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$A=300$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$A=300,B=200$$