Datrys {l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 100.

$$108x+110y=100800$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lleihau'r ffracsiwn \frac{110}{100} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Lleihau'r ffracsiwn \frac{108}{100} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$108x+110y=100800$$

Tynnu 110y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$108x=-110y+100800$$

Rhannu’r ddwy ochr â 108.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

Lluoswch \frac{1}{108} â -110y+100800.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

Amnewid -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} am x yn yr hafaliad arall, \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

Lluoswch \frac{11}{10} â -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

Adio -\frac{121y}{108} at \frac{27y}{25}.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Tynnu \frac{3080}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{109}{2700}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

Cyfnewidiwch -\frac{3600}{109} am y yn x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

Lluoswch -\frac{55}{54} â -\frac{3600}{109} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

Adio \frac{2800}{3} at \frac{11000}{327} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{105400}{109}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 100.

$$108x+110y=100800$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lleihau'r ffracsiwn \frac{110}{100} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Lleihau'r ffracsiwn \frac{108}{100} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 100.

$$108x+110y=100800$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lleihau'r ffracsiwn \frac{110}{100} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Lleihau'r ffracsiwn \frac{108}{100} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

I wneud 108x a \frac{11x}{10} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{11}{10} a holl dermau naill ochr yr ail â 108.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

Symleiddio.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

Tynnwch \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 o \frac{594}{5}x+121y=110880 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Adio \frac{594x}{5} at -\frac{594x}{5}. Mae'r termau \frac{594x}{5} a -\frac{594x}{5} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Adio 121y at -\frac{2916y}{25}.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

Adio 110880 at -111024.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{109}{25}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

Cyfnewidiwch -\frac{3600}{109} am y yn \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

Lluoswch \frac{27}{25} â -\frac{3600}{109} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

Adio \frac{3888}{109} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{11}{10}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{105400}{109}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$