Datrys {l}{1/2x-1+2y/12=2x-5y/3-7/4}{frac{1}{5}x+frac{2}{7}y=-frac{3}{35}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 + 2 y } { 12 } = \frac { 2 x - 5 y } { 3 } - \frac { 7 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 2 } { 7 } y = - \frac { 3 } { 35 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

I ddod o hyd i wrthwyneb 1+2y, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â 2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Tynnu 8x o'r ddwy ochr.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Cyfuno 6x a -8x i gael -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Ychwanegu 20y at y ddwy ochr.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Cyfuno -2y a 20y i gael 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Ychwanegu 1 at y ddwy ochr.

$$-2x+18y=-21+1$$

Adio -21 a 1 i gael -20.

$$-2x+18y=-20$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-2x+18y=-20$$

Tynnu 18y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=-18y-20$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-18y-20\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â -18y-20.

$$x=9y+10$$

Amnewid 9y+10 am x yn yr hafaliad arall, \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}.

$$\frac{1}{5}\left(9y+10\right)+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 9y+10.

$$\frac{9}{5}y+2+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Adio \frac{9y}{5} at \frac{2y}{7}.

$$\frac{73}{35}y+2=-\frac{3}{35}$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{73}{35}y=-\frac{73}{35}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{73}{35}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn x=9y+10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=9\left(-1\right)+10$$

Lluoswch 9 â -1.

$$x=-9+10$$

Adio 10 at -9.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

I ddod o hyd i wrthwyneb 1+2y, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â 2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Tynnu 8x o'r ddwy ochr.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Cyfuno 6x a -8x i gael -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Ychwanegu 20y at y ddwy ochr.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Cyfuno -2y a 20y i gael 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Ychwanegu 1 at y ddwy ochr.

$$-2x+18y=-21+1$$

Adio -21 a 1 i gael -20.

$$-2x+18y=-20$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{7}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{18}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{2}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}&\frac{315}{73}\\\frac{7}{146}&\frac{35}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}\left(-20\right)+\frac{315}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\\\frac{7}{146}\left(-20\right)+\frac{35}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

I ddod o hyd i wrthwyneb 1+2y, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â 2x-5y.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

Tynnu 8x o'r ddwy ochr.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

Cyfuno 6x a -8x i gael -2x.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

Ychwanegu 20y at y ddwy ochr.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

Cyfuno -2y a 20y i gael 18y.

$$-2x-1+18y=-21$$

Ychwanegu 1 at y ddwy ochr.

$$-2x+18y=-21+1$$

Adio -21 a 1 i gael -20.

$$-2x+18y=-20$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

I wneud -2x a \frac{x}{5} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{1}{5} a holl dermau naill ochr yr ail â -2.

$$\frac{1}{5}\left(-2\right)x+\frac{1}{5}\times 18y=\frac{1}{5}\left(-20\right),-2\times \frac{1}{5}x-2\times \frac{2}{7}y=-2\left(-\frac{3}{35}\right)$$

Symleiddio.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4,-\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}$$

Tynnwch -\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35} o -\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

Adio -\frac{2x}{5} at \frac{2x}{5}. Mae'r termau -\frac{2x}{5} a \frac{2x}{5} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

Adio \frac{18y}{5} at \frac{4y}{7}.

$$\frac{146}{35}y=-4-\frac{6}{35}$$

Adio -4 at -\frac{6}{35}.

$$\frac{146}{35}y=-\frac{146}{35}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{146}{35}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}\left(-1\right)=-\frac{3}{35}$$

Lluoswch \frac{2}{7} â -1.

$$\frac{1}{5}x-\frac{2}{7}=-\frac{3}{35}$$

Adio \frac{2}{7} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 5.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=-1$$