Datrys {c}{x-3y=22}{2y-3x=-31}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 y = 22 } \\ { 2 y - 3 x = - 31 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=7$$

$$y=-5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-3y=22,-3x+2y=-31$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-3y=22$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=3y+22$$

Amnewid 3y+22 am x yn yr hafaliad arall, -3x+2y=-31.

$$-3\left(3y+22\right)+2y=-31$$

Lluoswch -3 â 3y+22.

$$-9y-66+2y=-31$$

Adio -9y at 2y.

$$-7y-66=-31$$

Adio 66 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-7y=35$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=-5$$

Cyfnewidiwch -5 am y yn x=3y+22. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=3\left(-5\right)+22$$

Lluoswch 3 â -5.

$$x=-15+22$$

Adio 22 at -15.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=-5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-3y=22,-3x+2y=-31$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 22-\frac{3}{7}\left(-31\right)\\-\frac{3}{7}\times 22-\frac{1}{7}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=7,y=-5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-3y=22,-3x+2y=-31$$

I wneud x a -3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -3 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-3x-3\left(-3\right)y=-3\times 22,-3x+2y=-31$$

Symleiddio.

$$-3x+9y=-66,-3x+2y=-31$$

Tynnwch -3x+2y=-31 o -3x+9y=-66 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-3x+3x+9y-2y=-66+31$$

Adio -3x at 3x. Mae'r termau -3x a 3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y-2y=-66+31$$

Adio 9y at -2y.

$$7y=-66+31$$

Adio -66 at 31.

$$7y=-35$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$y=-5$$

Cyfnewidiwch -5 am y yn -3x+2y=-31. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-3x+2\left(-5\right)=-31$$

Lluoswch 2 â -5.

$$-3x-10=-31$$

Adio 10 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-21$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=-5$$