Datrys {c}{x+y=89}{2x+y=23y}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 23y o'r ddwy ochr.

$$2x+y-23y=0$$

Cyfuno y a -23y i gael -22y.

$$2x-22y=0$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=89$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+89$$

Amnewid -y+89 am x yn yr hafaliad arall, 2x-22y=0.

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

Lluoswch 2 â -y+89.

$$-2y+178-22y=0$$

Adio -2y at -22y.

$$-24y+178=0$$

Tynnu 178 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-24y=-178$$

Rhannu’r ddwy ochr â -24.

$$y=\frac{89}{12}$$

Cyfnewidiwch \frac{89}{12} am y yn x=-y+89. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

Adio 89 at -\frac{89}{12}.

$$x=\frac{979}{12}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 23y o'r ddwy ochr.

$$2x+y-23y=0$$

Cyfuno y a -23y i gael -22y.

$$2x-22y=0$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 23y o'r ddwy ochr.

$$2x+y-23y=0$$

Cyfuno y a -23y i gael -22y.

$$2x-22y=0$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

I wneud x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

Symleiddio.

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

Tynnwch 2x-22y=0 o 2x+2y=178 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+2y+22y=178$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y+22y=178$$

Adio 2y at 22y.

$$24y=178$$

Rhannu’r ddwy ochr â 24.

$$y=\frac{89}{12}$$

Cyfnewidiwch \frac{89}{12} am y yn 2x-22y=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

Lluoswch -22 â \frac{89}{12}.

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

Adio \frac{979}{6} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{979}{6}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{979}{12}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$