Datrys {c}{x+y=8}{40x+55y=410}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { 40 x + 55 y = 410 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=8$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+8$$

Amnewid -y+8 am x yn yr hafaliad arall, 40x+55y=410.

$$40\left(-y+8\right)+55y=410$$

Lluoswch 40 â -y+8.

$$-40y+320+55y=410$$

Adio -40y at 55y.

$$15y+320=410$$

Tynnu 320 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$15y=90$$

Rhannu’r ddwy ochr â 15.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn x=-y+8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-6+8$$

Adio 8 at -6.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{55-40}&-\frac{1}{55-40}\\-\frac{40}{55-40}&\frac{1}{55-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}&-\frac{1}{15}\\-\frac{8}{3}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}\times 8-\frac{1}{15}\times 410\\-\frac{8}{3}\times 8+\frac{1}{15}\times 410\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

I wneud x a 40x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 40 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$40x+40y=40\times 8,40x+55y=410$$

Symleiddio.

$$40x+40y=320,40x+55y=410$$

Tynnwch 40x+55y=410 o 40x+40y=320 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$40x-40x+40y-55y=320-410$$

Adio 40x at -40x. Mae'r termau 40x a -40x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$40y-55y=320-410$$

Adio 40y at -55y.

$$-15y=320-410$$

Adio 320 at -410.

$$-15y=-90$$

Rhannu’r ddwy ochr â -15.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn 40x+55y=410. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$40x+55\times 6=410$$

Lluoswch 55 â 6.

$$40x+330=410$$

Tynnu 330 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$40x=80$$

Rhannu’r ddwy ochr â 40.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=6$$