Datrys {c}{x+y=69}{2x+y=23}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 23 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-46$$

$$y=115$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=69,2x+y=23$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=69$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+69$$

Amnewid -y+69 am x yn yr hafaliad arall, 2x+y=23.

$$2\left(-y+69\right)+y=23$$

Lluoswch 2 â -y+69.

$$-2y+138+y=23$$

Adio -2y at y.

$$-y+138=23$$

Tynnu 138 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-y=-115$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=115$$

Cyfnewidiwch 115 am y yn x=-y+69. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-115+69$$

Adio 69 at -115.

$$x=-46$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-46,y=115$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=69,2x+y=23$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\23\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-69+23\\2\times 69-23\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-46\\115\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-46,y=115$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=69,2x+y=23$$

Tynnwch 2x+y=23 o x+y=69 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$x-2x+y-y=69-23$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$x-2x=69-23$$

Adio x at -2x.

$$-x=69-23$$

Adio 69 at -23.

$$-x=46$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=-46$$

Cyfnewidiwch -46 am x yn 2x+y=23. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$2\left(-46\right)+y=23$$

Lluoswch 2 â -46.

$$-92+y=23$$

Adio 92 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=115$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-46,y=115$$