Datrys {c}{x+y=64}{12x-26y=19}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x - 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{1683}{38} = 44\frac{11}{38} \approx 44.289473684$$

$$y = \frac{749}{38} = 19\frac{27}{38} \approx 19.710526316$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=64,12x-26y=19$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=64$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+64$$

Amnewid -y+64 am x yn yr hafaliad arall, 12x-26y=19.

$$12\left(-y+64\right)-26y=19$$

Lluoswch 12 â -y+64.

$$-12y+768-26y=19$$

Adio -12y at -26y.

$$-38y+768=19$$

Tynnu 768 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-38y=-749$$

Rhannu’r ddwy ochr â -38.

$$y=\frac{749}{38}$$

Cyfnewidiwch \frac{749}{38} am y yn x=-y+64. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{749}{38}+64$$

Adio 64 at -\frac{749}{38}.

$$x=\frac{1683}{38}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1683}{38},y=\frac{749}{38}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=64,12x-26y=19$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{26}{-26-12}&-\frac{1}{-26-12}\\-\frac{12}{-26-12}&\frac{1}{-26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}&\frac{1}{38}\\\frac{6}{19}&-\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\times 64+\frac{1}{38}\times 19\\\frac{6}{19}\times 64-\frac{1}{38}\times 19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1683}{38}\\\frac{749}{38}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{1683}{38},y=\frac{749}{38}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=64,12x-26y=19$$

I wneud x a 12x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 12 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$12x+12y=12\times 64,12x-26y=19$$

Symleiddio.

$$12x+12y=768,12x-26y=19$$

Tynnwch 12x-26y=19 o 12x+12y=768 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+12y+26y=768-19$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$12y+26y=768-19$$

Adio 12y at 26y.

$$38y=768-19$$

Adio 768 at -19.

$$38y=749$$

Rhannu’r ddwy ochr â 38.

$$y=\frac{749}{38}$$

Cyfnewidiwch \frac{749}{38} am y yn 12x-26y=19. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$12x-26\times \frac{749}{38}=19$$

Lluoswch -26 â \frac{749}{38}.

$$12x-\frac{9737}{19}=19$$

Adio \frac{9737}{19} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$12x=\frac{10098}{19}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 12.

$$x=\frac{1683}{38}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1683}{38},y=\frac{749}{38}$$