Datrys {c}{x+y=5}{2x-y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 5 } \\ { 2 x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=5,2x-y=-3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=5$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+5$$

Amnewid -y+5 am x yn yr hafaliad arall, 2x-y=-3.

$$2\left(-y+5\right)-y=-3$$

Lluoswch 2 â -y+5.

$$-2y+10-y=-3$$

Adio -2y at -y.

$$-3y+10=-3$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3y=-13$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$y=\frac{13}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{13}{3} am y yn x=-y+5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{13}{3}+5$$

Adio 5 at -\frac{13}{3}.

$$x=\frac{2}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{13}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=5,2x-y=-3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{13}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=5,2x-y=-3$$

I wneud x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2x+2y=2\times 5,2x-y=-3$$

Symleiddio.

$$2x+2y=10,2x-y=-3$$

Tynnwch 2x-y=-3 o 2x+2y=10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+2y+y=10+3$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y+y=10+3$$

Adio 2y at y.

$$3y=10+3$$

Adio 10 at 3.

$$3y=13$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=\frac{13}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{13}{3} am y yn 2x-y=-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-\frac{13}{3}=-3$$

Adio \frac{13}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{4}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{13}{3}$$